隋唐大运河各段的开凿先后顺序如下：
广通渠：公元584年开凿。这是隋唐大运河开凿的第一段，为运河的修建奠定了基础。
山阳渎（邗沟）：公元587年开凿。沿用了春秋时期吴王夫差开凿的邗沟旧道，进行了疏通和扩建，连接了江都（今扬州）和山阳（今江苏淮安）。
通济渠：公元605年开凿。通济渠分为东西两段，西段自洛阳西郊引洛河和谷水入黄河，东段自荥阳汜水引黄河水，循汴水经商丘、宿县、泗县入淮河，是连接洛阳和淮河的重要水道。
永济渠：公元608年开凿。永济渠利用沁河、淇水、卫河等水源，引水通航至天津，再溯永定河通至涿郡（今北京），大大延长了运河的北段。
江南河：公元610年开凿。江南河的开通连接了扬州、镇江至杭州段，全长约400公里，使得从首都洛阳到江都、再到浙江杭州的河道得以直通船舶，畅行无阻。
综上所述，隋唐大运河各段的开凿顺序为广通渠、山阳渎、通济渠、永济渠和江南河。这一工程历经多年，最终形成了连接南北、贯通东西的水上交通网络，对当时的政治、经济和文化交流产生了深远影响。
