先说职责。
卫生监督局（很多地方也称卫生监督所、卫生计生执法大队）是卫计委下属的执法队伍，依据《执业医师法》、《医疗机构管理条例》、《传染病防治法》等法律法规开展执法活动，主要职责各地稍有不同，但是基本职责是一样的，附一个西安市区一级卫生监督所的职责，区卫生监督所主要职能。
卫计委是政府的一个组成部门（已经要改名为卫生健康委员会了），顾名思义，就是卫生计生工作方面的行政部门，同样附一个卫计委的职责链接，市卫计委职能。
再说相互关系。
法律法规规定行政部门才能执法，但是卫生监督部门通常为事业单位（大部分地区已参公），因此卫生监督是受卫计委委托执法。
卫生监督由于是卫计委的下属部门，通常是在卫计委的某个局/处/科的管理下，大致来说国家卫计委有综合监督局，省市卫计委有执法监督处，区县卫计委有监督科。
因此，卫生监督部门是级别上等同于卫计委的内设部门（某些地方监督部门会高配）的下属事业单位（通常参公管理）。
