正三棱锥的表面积公式为：$S = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}h^{2}$其中，$a$ 是正三棱锥底面三角形的边长，$h$ 是正三棱锥的高。正三棱锥的表面积由三部分组成：底面的面积和三个侧面三角形的面积。底面是一个等边三角形，其面积公式为 $\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$。侧面三角形是等腰三角形，其面积公式为 $\frac{1}{2}ah$，其中 $a$ 是底边长，$h$ 是高。由于正三棱锥有三个这样的侧面，所以三个侧面的总面积为 $\frac{3}{2}ah$。将底面和侧面的面积相加，得到正三棱锥的总表面积：$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2} + \frac{3}{2}ah$为了将 $h$ 表示为 $a$ 的函数，我们可以使用正三棱锥的高和底面边长的关系。设正三棱锥的高为 $h$，底面边长为 $a$，则高 $h$ 可以通过以下公式表示：$h = \frac{\sqrt{6}}{3}a$将 $h$ 的表达式代入表面积公式中，得到：$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2} + \frac{3}{2}a \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a$化简后得到：$S = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}h^{2}$这就是正三棱锥的表面积公式。通过代入具体的 $a$ 和 $h$ 的值，我们可以计算出正三棱锥的表面积。例如，如果底面边长 $a = 2$，高 $h = \frac{2\sqrt{6}}{3}$，则表面积 $S = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 2^{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} \times {(\frac{2\sqrt{6}}{3})}^{2} = 3\sqrt{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{13\sqrt{3}}{3}$。
