看一个能手算完的例子。设
它把点 送到
原来的单位正方形因此变成一个平行四边形。若只知道变换后的坐标 ，由
便能找回原点，于是
做的事，就是把那个平行四边形上的每一点准确送回原来的正方形。两边复合后什么也没发生：
“准确送回”这四个字包含两项要求。不同的原点不能被 送到同一点，否则看到结果时无法判断它从哪里来；目标空间里的每一点也必须有原像，否则逆变换在那里没有定义。也就是线性映射既单射又满射。
对 ，这两件事在有限维方阵中等价，并且与下面这些说法是同一回事：
教材列出的许多“可逆矩阵等价条件”，其实都在检查有没有信息被压没。
是 维体积的缩放倍数。上面的矩阵满足 ，所以单位正方形变成面积为 的平行四边形；逆矩阵的行列式为
正好把面积缩回去。
若 ，一个有体积的物体会被压到低维空间。比如
把整个平面压到直线 上，并且
两个不同输入已经变成同一个输出。此后无论接上什么线性变换，都无法仅凭这个输出判断原来是哪一个点。逆矩阵不存在，原因不是公式里的分母恰好为零；分母为零只是“信息已经丢失”的代数记录。
把 的列记成 。矩阵乘法
表示：用系数 组合这组列向量，得到空间中的向量 。
若 可逆，它的列构成一组基。给定 后，
读出的就是 在基 下的坐标。所以 可看作“按坐标合成向量”， 则“从向量读回坐标”。这也是解方程 与求逆之间的关系。
不过在实际数值计算中，为了求一个 ，通常不会先显式算出 再乘 。LU、QR、Cholesky 等分解直接解方程，运算更省，也往往更稳定。逆矩阵是清楚表达映射结构的对象，不等于每次计算都该把整张逆矩阵造出来。
一个矩阵即使严格可逆，也可能把某个方向压得极扁。写成奇异值分解
几何过程是：转到 给出的正交方向，分别按 伸缩，再转到 给出的方向。若所有 ，
很小的奇异值在求逆时会变成很大的 。原变换把某个方向压得越薄，逆变换就必须把该方向放得越大，测量误差和舍入误差也一起放大。二范数条件数
衡量的正是这种敏感性。 时完全不可逆； 很小时，数学上有逆，计算上却已经很难可靠地倒回去。
若矩阵不是方阵，输入和输出维数不同，一般没有两侧都成立的逆。满列秩时可以只保证“先做 再左逆”回到输入，满行秩时可以只保证覆盖输出。Moore–Penrose 伪逆则把无法严格倒放的情形改成最佳近似：无精确原像时给最小二乘解，有多个原像时选范数最小的一个。
几何上，矩阵求逆就是完整复原一次线性变形；能否复原取决于有没有方向被压没，复原是否可靠则取决于最薄的那个方向究竟被压到了什么程度。
