工程力学狗来提一下对称矩阵对角化在连续介质力学中的应用
本人数学和力学学的都不算太好，当年线代也是稀里糊涂，学完就忘，大三再学弹性力学时用了很多线代的知识重新复习才找到了点豁然开朗的感觉，以下都是个人的一些比较粗浅的想法和观点，分享一下，抛砖引玉。如有不严谨之处还请指正。
首先来引入应力的概念：
物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。
在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。
（自百度百科）
正应力的典型例子是在一个受拉力的圆轴上（如图），在一个两端受拉力的圆轴上取一个垂直于轴线的截面，认为截面上均匀分布着内力，内力大小等于外力F，由静力平衡条件，有此处的正应力
，A为圆截面面积。应力的量纲为牛每米方，故单位与压强相同，为帕斯卡（Pa）
切应力的典例为受扭矩的圆轴，问题如图，
推导可参考材料力学教材，结论是，当圆轴受扭转时，其垂直轴线的圆截面上的分布有随半径线性变化的作用于圆截面内的切应力，如图，切应力用符号
来表示。
以上两种都是简单的单一应力状态，显然外力是可以共同作用的，若一根杆受扭矩和拉力，那么在横截面上就会出现正应力和切应力组合的情况。我们以垂直横截面的方向为X轴，建立空间直角坐标系，可以把横截面上的应力分解为
以数学来看，这是一个矢量，即一个面上的应力矢量，它表征了某一个截面微元上的应力状态
对于一些简单的问题，以上分析就足够了，因为他们都可以简单的把问题变为一种平面内的问题，通过一个面内的应力矢量确定应力状态，分析结构刚度（变形大小）和强度（是否发生破坏），但对于复杂的结构问题，必须讨论一点处的应力状态。
连续介质力学的研究方法来自微积分，求解过程使用的是数个微分方程的联立，所以最基本的方法是在复杂的应力的实体中取一个无限小的微元体，进行分析，研究其上的应力状态，如图：
即，一个无限小的微元体上的应力状态，或者，一点处的应力状态，在直角坐标下，可以用在三个正交平面上作用的应力矢量来表达。可以用9个分量来表达。
回想一下高中学过的矢量的问题，速度矢量的分量，, 一起才可以表达物体运动的速度矢量V。这里也一样，9个标量和起来才能表达一点处的应力状态，所以把这9个量和在一起，表述为一个量，怎么做呢？前人把这9个量和在一起，写成矩阵的形式，叫做应力张量：（注意张量并不等价矩阵，下面会提到）
其中元素下标的第一个字母表示表示应力分量所在面垂直的坐标轴，第二个字母标识应力分量的方向与某一个坐标轴的方向平行。如就表示作用在垂直于x轴的面上，与y轴方向平行的应力分量。
值得注意的是，当物理受外力后处于平衡状态的时候，这个矩阵其实是天生的实对称矩阵，即=，力学上称为切应力互等定理，由微元体的静力平衡条件的力矩平衡直接得到。相关推导可以参考材料力学的教材。
现在，我们得到了一个实对称矩阵来表达物体一点处的应力状态，线代告诉我们这玩意一定可以化为一个对角化为一个对角矩阵。但这玩意有什么意义？变换用的正交矩阵Q又是嘛玩意？
答案很简单：坐标变换
这个“左乘Q的转置、右乘Q”的正交矩阵Q就是坐标变换矩阵，我学后扔了快两年了记得不太清楚了，大部分线代教材上在向量组和向量空间的章节应该都有描述，大家可以自己参考。
对比上面应力张量的表达，显然，一点处由9个量表达的应力状态（对称矩阵）通过坐标变换可以用三个正交面上的正应力（对角阵）来表达，如图所示（直接从我们教学资料上拍了一张= =）：（材料力学中没有直接给出变换矩阵这个概念，但有一个叫应力圆的概念，表达的是同样的意思）
这个转换后的坐标系就叫主坐标系，三个正应力叫做主应力（其实就是线代里所说的特征值）。
那么求出主应力有什么用呢？
需要注意，坐标转换前后的两个矩阵表达的是同一点处的同一个应力状态（或者说，表达的是同一个张量），后者的形式更为简洁，可以更清晰的体现一点的应力状态，分析复杂应力状态下的强度判据的四大强度理论就大多需要用主应力为判断准则。一般应力状态是通过建系，假设，列微分方程联立求得的（绝大多数都很难得到准确的解析解，现在多使用有限元等计算机数值方法），这就导致一般解出的应力分布是9个分量表达的一般形式，需要使用坐标变换变为主应力的形式来校核强度。
以上
P.S
提到的几门课中，材料力学是弹性力学的先修课程，大部分学机械的工科生都需要接触这门课，以理论力学的静力分析和高数为先修课程。 在大量简化的基础上讨论棒类物体的受力、变形、稳定性和破坏极限问题。
弹性力学的研究对象弹性体结构的受力、变形与其间的对应关系。这里只是为了讲明矩阵对角化的应用只浅谈里应力状态相关的部分内容。一般好像只有学土木和结构的同学会接触。
参考资料：
杨桂通. 弹性力学,高等教育出版社
单辉祖，材料力学，高等教育出版社
